【题目】如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.
(1)证明:平面平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【解析】分析:(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系,即BF⊥PF,BF⊥EF,又因为,利用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF,又平面ABFD,利用面面垂直的判定定理证得平面PEF⊥平面ABFD.
(2)结合题意,建立相应的空间直角坐标系,正确写出相应的点的坐标,求得平面ABFD的法向量,设DP与平面ABFD所成角为,利用线面角的定义,可以求得,得到结果.
详解:(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,又,所以BF⊥平面PEF.
又平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.
由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得.
则 为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为,则.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
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【题目】已知函数f(x)=lnx+﹣1,a∈R.
(1)当a>0时,若函数f(x)在区间[1,3]上的最小值为,求a的值;
(2)讨论函数g(x)=f′(x)﹣零点的个数.
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【题目】如图1,在边长为4的菱形中,,于点,将沿折起到的位置,使,如图2.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)判断在线段上是否存在一点,使平面平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】己知数列,首项,设该数列的前项的和为,且
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的通项公式;
(3)在第(2)小题的条件下,令,是数列的前项和,若对,恒成立,求的取值范围.
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【题目】在上海高考改革方案中,要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科,3门文科)中选择3门学科参加等级考试,小李同学受理想中的大学专业所限,决定至少选择一门理科学科,那么小李同学的选科方案有________种.
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【题目】将个不同的红球和个不同的白球,放入同一个袋中,现从中取出个球.
(1)若取出的红球的个数不少于白球的个数,则有多少种不同的取法;
(2)取出一个红球记分,取出一个白球记分,若取出个球的总分不少于分,则有多少种不同的取法;
(3)若将取出的个球放入一箱子中,记“从箱子中任意取出个球,然后放回箱子中”为一次操作,如果操作三次,求恰有一次取到个红球并且恰有一次取到个白球的概率.
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【题目】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还升, 升, 升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )
A. , , 依次成公比为2的等比数列,且
B. , , 依次成公比为2的等比数列,且
C. , , 依次成公比为的等比数列,且
D. , , 依次成公比为的等比数列,且
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【题目】某单位为促进职工业务技能提升,对该单位120名职工进行一次业务技能测试,测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果,将它们编号后得到它们的统计结果如下表(表1)所示(“√”表示测试合格,“×”表示测试不合格).
表1:
编号\测试项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
规定:每项测试合格得5分,不合格得0分.
(1)以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.
①设抽取的这10名职工中,每名职工测试合格的项数为,根据上面的测试结果统计表,列出的分布列,并估计这120名职工的平均得分;
②假设各名职工的各项测试结果相互独立,某科室有5名职工,求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率;
(2)已知在测试中,测试难度的计算公式为,其中为第项测试难度,为第项合格的人数,为参加测试的总人数.已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表(表2):
表2:
测试项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测合格人数 | 8 | 8 | 7 | 7 | 2 |
定义统计量,其中为第项的实测难度,为第项的预测难度().规定:若,则称该次测试的难度预测合理,否则为不合理,测试前,预估了每个预测项目的难度,如下表(表3)所示:
表3:
测试项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
预测前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
判断本次测试的难度预估是否合理.
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