Question

14．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）为增函数，f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（$\frac{{x}^{2}}{y}$）=2f（x）-f（y）；
（2）若f（2）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可令y=x，x²=$\frac{{x}^{2}}{y}$•y，结合条件，即可得证；
（2）由f（2）=1，可得f（4）=2f（2）=2，f（a）＞f（a-1）+2，即为f（a）＞f（a-1）+f（4）=f（4（a-1）），由f（x）在（0，+∞）为增函数，即有a＞0，a-1＞0，a＞4（a-1），解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：由f（xy）=f（x）+f（y），
令y=x，可得f（x²）=2f（x），
又f（x²）=f（$\frac{{x}^{2}}{y}$•y）=f（$\frac{{x}^{2}}{y}$）+f（y），
即有f（$\frac{{x}^{2}}{y}$）=2f（x）-f（y）；
（2）由f（2）=1，可得f（4）=2f（2）=2，
f（a）＞f（a-1）+2，即为f（a）＞f（a-1）+f（4）=f（4（a-1）），
由f（x）在（0，+∞）为增函数，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a＞4（a-1）}\end{array}\right.$解得1＜a＜$\frac{4}{3}$．
则a的取值范围是（1，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查函数的单调性的运用：解不等式，考查抽象函数的解决方法：赋值法，考查运算能力，属于中档题和易错题．