Question

设项数均为k（k≥2，k∈N^*）的数列{a_n}、{b_n}、{c_n}前n项的和分别为S_n、T_n、U_n．已知集合{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k-2，4k}．
（1）已知Un=2n+2n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）若Sn-Tn=2n+2n（1≤n≤k，n∈N^*），试研究k=4和k≥6时是否存在符合条件的数列对（{a_n}，{b_n}），并说明理由；
（3）若an-bn=2n  (1≤n≤k， n∈N*)，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（{a_n}，{b_n}）有偶数对．

Answer 1

分析：（1）由Un=2n+2n，分别求出n=1时c₁的值和n≥2时数列{c_n}的通项，验证c₁后写出数列{c_n}的通项公式；
（2）由Sn-Tn=2n+2n，取n=1时得到a₁-b₁=S₁-T₁=4，写出n≥2时的a_n-b_n，然后验证n=4时存在符合条件的数列对，当n≥6时，借助于不等式放缩及二项式定理可说明不存在符合条件的数列对；
（3）令d_n=4k+2-b_n，e_n=4k+2-a_n（1≤n≤k，n∈N^*），易验证a_n，b_n与d_n，c_n分别成对满足条件an-bn=2n  (1≤n≤k， n∈N*)，当a_n与d_n交换时得到矛盾式子，说明符合条件的数列对（{a_n}，{b_n}）有偶数对．

解答：解：（1）已知Un=2n+2n，
当n=1时，c₁=U₁=4．
当n≥2时，cn=Un-Un-1=2n+2n-2(n-1)-2n-1=2+2n-1，
经验证c₁=4不适合上式，
故cn=

4，  n=1 2+2n-1，  2≤n≤k

；
（2）Sn-Tn=2n+2n，
当n=1时，a₁-b₁=S₁-T₁=4，
当n≥2时，a_n-b_n=（S_n-S_n-1）-（T_n-T_n-1）
=（S_n-T_n）-（S_n-1-T_n-1）=2n+2ⁿ-2（n-1）-2^n-1=2+2^n-1，
当k=4时，a₁-b₁=4，a₂-b₂=4，a₃-b₃=6，a₄-b₄=10，
{a₁，a₂，a₃，a₄，b₁，b₂，b₃，b₄}={2，4，6，8，10，12，14，16}
数列{a_n}、{b_n}可以为（不唯一）：
①6，12，16，14；2，8，10，4；
②16，10，8，14；12，6，2，4．
当k≥6时，ak=bk+2+2k-1＞2+2k-1=2+(1+1)k-1
=2+

C

0 k-1

+

C

1 k-1

+

C

2 k-1

+…+

C

k-2 k-1

+

C

k-1 k-1

≥2+2(

C

0 k-1

+

C

1 k-1

+

C

2 k-1

)=k2-k+4
=（k-1）（k-4）+4k＞4k
此时a_k不存在．故数列对（{a_n}，{b_n}）不存在；
（3）令d_n-e_n=（4k+2-b_n）-（4k+2-a_n）=a_n-b_n=2n，
又{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k}，得
{4k+2-a₁，4k+2-a₂，…，4k+2-a_k，4k+2-b₁，4k+2-b₂，…，4k+2-b_k}
={2，4，6，…，4k}，
∴数列对（{a_n}，{b_n}）与（{d_n}，{e_n}）成对出现． 
假设数列{a_n}与{d_n}相同，则由d₂=4k+2-b₂=a₂及a₂-b₂=4，得
a₂=2k+3，b₂=2k-1，均为奇数，矛盾．
故符合条件的数列对（{a_n}，{b_n}）有偶数对．

点评：本题考查了数列递推式，是性定义题，解答的关键是对题意的理解，属有一定难度题目．