Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）（文）当a=1，c=

1

2

时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）文：当a=1，c=

1

2

时，f(x)=x2+bx+

1

2

，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵f(

1

2

)=0，设另一个根为x₂，则

1

2

x2=

1

2

，∴x₂=1，（2分）
则 f（x）＜0的解为  

1

2

＜x＜1．（4分）
（2）理：f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x₂，则cx2=

c

a

∴x2=

1

a

（2分）
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，则f（x）＜0的解为c＜x＜

1

a

（4分）
（3）f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x₂，则cx2=

c

a

∴x2=

1

a

又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，则三交点为(c，0)，(

1

a

，0)，(0，c)（6分）
这三交点为顶点的三角形的面积为S=

1

2

(

1

a

-c)c=8，（7分）
∴a=

c

16+c2

≤

c

2 16 c

=

1

8

故a∈(0，  

1

8

]．（10分）
（4）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，
∴f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必须f（x）_max=1≤m²-2km+1成立，（14分）
必m²-2km≥0，令g（k）=-2km+m²，
对所有k∈[-1，1]，g（k）≥0恒成立，只要

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

m2-2m≥0 m2+2m≥0

（16分）
解得实数m的取值范围为  m≤-2或m=0或m≥2．（18分）
或者按m＜0，m=0，m＞0分类讨论，每一类讨论正确得（2分），结论（2分）．