精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
判断函数f(x)=4x+x2-
23
x3
在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由.
分析:先求f(1),f(-1)的值再判断函数在[-1,1]上的单调性,由区间两个端点的值以及函数的单调性确定函数零点的个数.
解答:解:∵f(-1)=-4+1+
2
3
=-
7
3
<0,f(1)=4+1-
2
3
=
13
3
>0

∴f(x)在[-1,1]上有零点.
又f′(x)=4+2x-2x2=
9
2
-2(x-
1
2
)2

当-1≤x≤1时,0≤f′(x)≤
9
2

∴f(x)在[-1,1]上是单调递增函数,
∴f(x)在[-1,1]上有只有一个零点.
点评:本题考点是函数零点的判定定理,考查函数在某个区间上的零点个数问题,解决此类问题要把区间上的单调性与区间端点的值以及区间内的极值都求出来,由这些特征即可判断出函数在这个区间上的零点的个数.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
4(x-a)x2+4
.(a∈R)
(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)设方程x2-2ax-1=0的两实根为m,n(m<n),证明函数f(x)是[m,n]上的增函数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

探究函数f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如表:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57
(1)根据上表判断函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间(0,2)上的单调性并给出证明;
(2)函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间上(2,+∞)单调性如何?(不需证明)求出函数f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值及相应x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义域为D的函数f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内有单调性;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则称f(x)为D上的“和谐”函数,[a,b]为函数f(x)的“和谐”区间.
(Ⅰ)求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间;
(Ⅱ)判断函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
是否为“和谐”函数?并说明理由.
(Ⅲ)若函数g(x)=
x+4
+m
是“和谐”函数,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012年人教A版高中数学必修1对数函数及其性质练习卷 题型:解答题

设函数.

(1)确定函数f (x)的定义域;

(2)判断函数f (x)的奇偶性;

(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数;

(4)求函数f(x)的反函数.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:吉林省同步题 题型:解答题

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0。求:
(1)求f(0);
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(3)解不等式f(a-4)+f(2a+1)<0。

查看答案和解析>>

同步练习册答案