Question

15．在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E是侧棱PC上一点，且CE=2PE，求四面体P-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明PD⊥平面ABCD，推出PD⊥BC，BD⊥BC，然后证明BC⊥平面PBD．
（2）过E作EF∥PD交DC于F，EF⊥平面ABCD，求出$EF=\frac{4}{3}$，利用V_P-BDE=V_P-BCD-V_E-BCD，求解即可．

解答 （1）证：∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD与平面ABCD相交于CD
∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC（2分）
在△ABD中，∠A=90°，AB=AD=2，∴$BD=2\sqrt{2}$，∠ADB=45°
在△ABD中，∠BDC=45°，$BD=2\sqrt{2}$，DC=4
∴$cos45°=\frac{{B{D^2}+D{C^2}-B{C^2}}}{2BD•DC}⇒BC=2\sqrt{2}$
由BD²+BC²=16=DC²知BD⊥BC（4分）
∵PD⊥BC，BD、PD相交于D，∴BC⊥平面PBD（6分）
（2）解：过E作EF∥PD交DC于F，由（1）知EF⊥平面ABCD
由CE=2PE得：$\frac{EF}{PD}=\frac{CE}{PC}=\frac{2}{3}$，∴$EF=\frac{4}{3}$（8分）${V_{P-BDE}}={V_{P-BCD}}-{V_{E-BCD}}=\frac{1}{3}PD•{S_{△BCD}}-\frac{1}{3}EF•{S_{△BCD}}=\frac{2}{9}{S_{△BCD}}$（10分）${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}CD•AD=\frac{1}{2}×4×2=4$
∴${V_{P-BDE}}=\frac{8}{9}$（12分）

点评 本题考查几何体的体积，以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查转化思想以及空间想象能力计算能力．