Question

【题目】已知定义在 上的函数满足 ,当 时, .
（1）求证： 为奇函数;
（2）求证： 为 上的增函数;
（3）解关于 的不等式: (其中 且 为常数).

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知 ,令 ,得 ,即 .
再令 ,即 ,得 .
∴ ,
∴ 是奇函数
（2）解：设 ,且 ,则 .
由已知得: ,
∴ ,
∴ .
即 在 上是增函数
（3）解：∵ ,∴ ,
∴ .
即 .
∵ ,∴ .
当 ,即 时,所求不等式的解集为 或 .
当 ,即 时, 所求不等式的解集为 .
当 ,即 时, 所求不等式的解集为 或
【解析】(1)抽象函数的奇偶性判断,可由函数所满足的条件,取特殊值,得到f(x)与f(-x)的关系进行判断；
(2)抽象函数的单调性,用定义证明;
(3)将函数不等式进行转化为标准型,由单调性脱去f得到关于x的含参数a的不等式,分类讨论求解,得解集.
【考点精析】本题主要考查了函数的奇偶性和奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．