Question

【题目】已知函数 ，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．
（1）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；
（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；
（3）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，

∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），

即y=e2x﹣3e2；

（2）解：由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，

∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，

∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，

当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，

∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，

则g（x）min=g（1）=0

∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，

∴M={1}；

（3）解：由（Ⅱ）a=1，

∴函数 ，其定义域为（0，+∞），

求得 ，

令m（x）=h'（x）， 为区间（0，+∞）上的增函数，

设x0为函数m'（x）的零点，即 ，则 ，

∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，

∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，

∴ ，

∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

【解析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2 ， 又f（4）=e2 ， 则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（2）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（3）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．