已知四棱锥P—GBCD中(如图),PG⊥平面GBCD,GD∥BC,GD=BC,且BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,PG=4
(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;
(2)若F点是棱PC上一点,且,,求的值.
(1),(2)
解析试题分析:法一:空间向量法。(1)以为坐标原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。根据已知条件得点的坐标,再得向量的坐标。用向量数量积公式求向量所成角的余弦值,但应注意空间两异面直线所成的角为锐角或直角,所以两异面和所成角的余弦值为向量所成角的余弦值的绝对值。(2)根据题意设,根据,可得的值,根据比例关系即可求得的值。法二:普通方法。(1)根据异面直线所成角的定义可过点作//交于,则(或其补角)就是异面直线与所成的角. 因为//且//,则四边形为平行四边形,则,,故可在中用余弦定理求。(2)由可得,过作,为垂足。易得证平面,可得,从而易得证//,可得,即可求的值。
试题解析:解法一:
(1)如图所示,以点为原点建立空间直角坐标系,
则故
故异面直线与所成角的余弦值为.
(2)设
在平面内过点作,为垂足,则
,∴
解法二:
(1)在平面内,过点作//交于,连结,则(或其补角)就是异面直线与所成的角.
在中,
由余弦定理得,
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如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,,,,且平面平面.
(1)求与平面所成角的正弦值;
(2)线段上是否存在点,使平面平面?
证明你的结论.
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已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点.
(1)证明:PF⊥FD;
(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的余弦值.
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如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,过作垂直交于点,作垂直交于点,平面交于点,且,.
(1)设点是上任一点,试求的最小值;
(2)求证:、在以为直径的圆上;
(3)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.
(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.
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