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    设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．

    （Ⅰ）求矩阵M；

    （Ⅱ）求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．

     

    【答案】

    （Ⅰ）由条件得矩阵（Ⅱ）是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值 的一个特征向量．

    【解析】(1)易求.

    (2)由矩阵M，可知其特征多项式为,然后利用,可解出的特征值，有两个值，然后分别求其特征向量即可

    （Ⅱ）因为矩阵的特征多项式为，

    令，解得特征值为，，

    设属于特征值的矩阵M的一个特征向量为，则，解得，取，得， 同理，对于特征值，解得，取，得， 6分

    所以是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值 的一个特征向量．

     

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