Question

18．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设P=$\frac{{a}_{3}+{a}_{9}}{2}$，Q=$\sqrt{{a}_{5}{a}_{7}}$，则a₃，a₉，P与Q的大小关系是（　　）

• A． a₃＞P＞Q＞a₉
• B． a₃＞Q＞P＞a₉
• C． a₉＞P＞a₃＞Q
• D． P＞Q＞a₃＞a₉

Answer 1

分析 等比数列{a_n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$，可得$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$=$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$＜$\frac{{a}_{3}+{a}_{9}}{2}$=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，可得a₉＜P＜a₃，a₉＜Q＜a₃．即可得出．

解答 解：等比数列{a_n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$，
则$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$=$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$＜$\frac{{a}_{3}+{a}_{9}}{2}$=P，
又各项均为正数，公比0＜q＜1，
∴a₉＜$P=\frac{{{a_3}+{a_9}}}{2}$＜a₃，
则a₉＜$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$=$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$＜a₃．
∴a₉＜Q＜P＜a₃．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．