Question

求下列函数的反函数 （1）f(x)=

x2+x

(x≤-1)；（2）y=x|x|+2x；（3）f(x)=

x2-1(0≤x≤1) x2(-1≤x＜0)

；（4）y=x³-3x²+3x+1；（5）y=log₂（x²+1）（x＜0）

Answer 1

分析：已知y=f（x），求y=f^-1（x）的步骤：①把y看成常数，求出x：x=f^-y；②x，y互换，得到y=f^-1（x）；③写出y=f^-1（x）的定义域．由此利用题设条件，能够求出所给函数的反函数．

解答：解：（1）∵y=f(x)=

x2+x

(x≤-1)，
∴x²+x-y²=0，x≤-1，且y≥0．
∴x=

-1- 1+4y2

2

，
x，y互换，得f(x)=

x2+x

(x≤-1)的反函数为y=

-1- 1+4x2

2

，x≥0；
（2）y=x|x|+2x，
当x≥0时，y=x²+2x，且y≥0，
x=

-2+ 4+4y

2

=-1+

1+y

，
x，y互换，得y=x²+2x的反函数为x=-1+ 

1+x

，x≥0．
当x＜0时，y=-x²+2x，且y＜0，
x=

-2- 4-4y

2

=-1-

1-y

，
x，y互换，得y=-x²+2x的反函数为y=-1-

1-x

，x＜0．
∴y=x|x|+2x的反函数为y=

-1+ 1+x ，x≥0 -1- 1-x ，x＜0

；
（3）f(x)=

x2-1(0≤x≤1) x2(-1≤x＜0)

，
当0≤x≤1时，y=x²-1∈[-1，0]，
x²=y+1，
x=

y+1

，
x，y互换，得y=x²-1∈[-1，0]的反函数为y=

x+1

，-1≤x≤0．
当-1≤x＜0时，y=x²∈（0，1]，
x=-

y

，
x，y互换，得y=x²∈（0，1]的反函数为y=-

x

，0＜x≤1．
∴f(x)=

x2-1(0≤x≤1) x2(-1≤x＜0)

的反函数f-1(x)=

x+1 ，-1≤x≤0 - x ，0＜x≤1

；
（4）∵y=x³-3x²+3x+1，
∴y-2=x³-3x²+3x-1=（x-1）³，
x-1=（y-2） 

1

3

，
∴x=（y-2） 

1

3

+1，
∴y=x³-3x²+3x+1的反函数是y=(x-2)

1

3

+1，x∈R；
（5）∵y=log₂（x²+1）（x＜0）
∴x²+1=2^y，且y＞0
x²=2^y-1，
x=-

2y-1

，
x，y互换，得y=log₂（x²+1）（x＜0）的反函数为y=-

2x-1

，x＞0．

点评：本题考查反函数的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意反函数定义域的求法．