Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=

1

2

，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1，消去y并整理一元二次方程，设直线AM的方程，求得与直线x=4的交点坐标P，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标Q，证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．

解答：（Ⅰ）解：由题意，a=2，

c

a

=

1

2

，∴c=1，∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）证明：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1，消去y并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设直线l与椭圆C交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4(k2-3)

3+4k2

．
直线AM的方程为：y=

y1

x1+2

(x+2），它与直线x=4的交点坐标为P（4，

6y1

x1+2

）
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q（4，

2y2

x2-2

）．
下面证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]

(x1+2)(x2-2)

=

2k[ 8(k2-3) 3+4k2 - 40k2 3+4k2 +8]

(x1+2)(x2-2)

=0
∴P，Q两点的纵坐标相等．
综上可知，直线AM与直线BN的交点住直线x=5上．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．