Question

函数f（x）=ax²+bx（a，b是常数且a≠0）满足条件：f（2）=0，方程f（x）=x 有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）问：是否存在实数m，n使得f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0得：4a+2b=0．再根据方程有等根，可得△=（b-1）²=0，可得b=1，解方程组求得a，b的值，
即可得到f（x）的解析式．
（2）由于f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，可得 2n≤

1

2

，即 n≤

1

4

，可得函数f（x）在[m，n]上
是增函数．再由函数的值域为[2m，2n]，求得m，n的值．

解答：解：（1）f（2）=0得：4a+2b=0． 方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0．
由此方程有等根，可得△=（b-1）²=0，可得b=1．------（2分）
解方程组

4a+2b=0 (b-1)2=0

，可得

a=- 1 2 b=1

，-----（4分）
∴f（x）=-

1

2

x2+x．------（5分）
（2）由于f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，------（2分）
∴2n≤

1

2

，∴n≤

1

4

，∴函数f（x）在[m，n]上是增函数．------（5分）
∴

f(m)=- 1 2 m2+m=2m f(n)=- 1 2 n2 +n=2n

，解得m=-2，n=0．
故存在实数m=-2，n=0，满足条件．-----（7分）

点评：本题主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题．