Question

（2012•绥化模拟）已知函数f(x)=a(x+

1

x

)+2lnx，g（x）=x²．
（1）若a=

1

2

，时，直线l与函数f（x）和函数g（x）的图象相切于同一点，求切线l的方程
（2）若f（x）在[2，4]内为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于切点的横坐标x的方程，求出切点的坐标，根据得出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（2）通过解f′（x），求其单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．

解答：解：（1）当a=

1

2

时，由题意可得，f′（x）=

1

2

（1-

1

x2

）+

2

x

=

x2+4x-1

2x2

，g′（x）=2x，
又直线L与函数f（x），g（x）的图象相切于同一点，
∴

x2+4x-1

2x2

=2x，（4分）
解得x=1，x=

1

4

，（x=-1舍去），
此时，f（1）=g（1）=1，而f（

1

4

）=

17

8

+2ln

1

4

≠g（

1

4

）=

1

16

，切线的斜率k=2
∴切点为（1，1），则切线L的方程为：y=2x-1．（6分）
（2）∵f′（x）=a（1-

1

x2

）+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，
要使f（x）在[2，4]为单调增函数，须f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即

ax2+2x-a

x2

≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
a（x²-1）≥-2x，即a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4），（8分）
设u（x）=

1

x

-x（2≤x≤4），因为u′（x）=-

1

x2

-1＜0，所以u（x）在[2，4]上单调递减．
∴-

8

15

≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

≥-

4

3

，
所以当a≥-

8

15

时，f（x）在[2，4]为单调增函数；（10分）
同理要使f（x）为单调减函数，须f′（x）≤0在[2，4]恒成立，易得a≤-

4

3

，
综上，若f（x）在[2，4]为单调函数，则a的取值范围是（-∞，-

4

3

]或[-

8

15

，+∞）．（12分）

点评：对于已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，，则可得f′（x）≤0．