(Ⅰ)证明:当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1;
(Ⅱ)点P(x0,y0)(0<x0<1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表示).
19.本小题主要考查函数与不等式等知识和思维能力.
(Ⅰ)证法一:因f(x)=|1-|=
故f(x)在(0,1)上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数.
由0<a<b且f(a)=f(b)得
0<a<1<b和-1=1-,
即+=22ab=a+b>2.
故>1,即ab>1.
证法二:由f(a)=f(b)得.
若1-与1-同号,
可得1-=1-a=b.
与0<a<b矛盾.
故1-与1-必异号.
即-1=1-+=2.
即+=22ab=a+b>2.
故>1,即ab>1.
(Ⅱ)解法一:0<x<1时,y=f(x)=|1-|=-1,
∴f′(x0)=-, 0<x0<1.
曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为:
y-y0=-(x-x0),
即y=-+.
∴切线与x轴、y轴正向的交点为(x0(2-x0),0)和(0,(2-x0)).
故所求三角形面积的表达式为
A(x0)=x0(2-x0)·(2-x0)=(2-x0)2.
解法二:设过点P(x0,y0)处的切线方程为:y-y0=k(x-x0),k为待定系数.
代入y=f(x)=-1 (0<x<1)并整理得
kx2+(y0+1-kx0)x-1=0.
因为P是切点,所以方程有重根,故差别式
Δ=(y0+1-kx0)2+4k=()2+4k=0.
即(+kx0)2=0k=- (0<x0<1).
曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为:y-y0=-(x-x0),
即y=-+.
∴切线与x轴、y轴正向的交点为(x0(2-x0),0)和(0,(2-x0)).
故所求三角形面积表达式为:
A(x0)=x0(2-x0)·(2-x0)=(2-x0)2.
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