【题目】设O为坐标原点,点P的坐标为,
(1)若在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;
(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的概率;
(3)从原点O出发的某质点,按向量移动的概率为,按向量移动的概率为,求可到达点的概率.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
记抽到的卡片标号为,列出所有的情况,然后分别求出的值,从而得到最大值,设事件为“取到最大值”,根据满足事件的两种情况即可求得概率
求出点落在第一象限所构成区域的面积,然后求出基本事件空间所表示的区域的面积,计算二者的比值即可
结合题意推导出,求证数列是以为首项,为公比的等比数列,运用累加法求出结果
(1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别为,(x,y)取值为:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
相应的P(x-2,x-y)为:(-1,0),(-1,-1),(-1,-2),(0,1),(0,0),(0,-1)(1,2),(1,1),(1,0)共9种.可知|OP|的最大值为
设事件A为“|OP|取到最大值”,
则满足事件A的(x,y)有(1,3),(3,1)两种情况,
(2)设事件B为“P点在第一象限”
若则其所表示的区域面积为
由题意可得事件B满足,
即如图所示的阴影部分,
其区域面积为
(3)点到达点有两种情况:
第一:从点按向量移动到点;
第二:从点按向量移动到点,
所以,,
变化后得:,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列。
所以
所以运用累和法得:
=
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【题目】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(1)根据已知条件完成上面的列联表,若按的可靠性要求,并据此资料,你是否认为“体育迷”与性别有关?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求分布列,期望和方差.
附:
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【题目】在公差不为0的等差数列{an}中,a1+a5=ap+aq , 记 + 的最小值为m,若数列{bn}满足bn>0,b1= m,bn+1是1与 的等比中项,若bn 对任意n∈N*恒成立,则s的取值范围是 .
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【题目】小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻,则不同坐法的总数为
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
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【题目】有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒子内.
(1)共有几种放法?
(2)恰有1个空盒,有几种放法?
(3)恰有2个盒子不放球,有几种放法?
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【题目】有以下命题:
①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)的值域为{0};
②若函数f(x)是偶函数,则f(|x|)=f(x);
③若函数f(x)在其定义域内不是单调函数,则f(x)不存在反函数;
④若函数f(x)存在反函数f﹣1(x),且f﹣1(x)与f(x)不完全相同,则f(x)与f﹣1(x)图象的公共点必在直线y=x上;
其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)
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【题目】如图,在空间四边形ABCD(A,B,C,D不共面)中,一个平面与边AB,BC,CD,DA分别交于E,F,G,H(不含端点),则下列结论错误的是( )
A.若AE:BE=CF:BF,则AC∥平面EFGH
B.若E,F,G,H分别为各边中点,则四边形EFGH为平行四边形
C.若E,F,G,H分别为各边中点且AC=BD,则四边形EFGH为矩形
D.若E,F,G,H分别为各边中点且AC⊥BD,则四边形EFGH为矩形
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(, 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点, 与原点构成,且满足,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为,
,消去参数可知曲线是圆心为,半径为的圆,由直线与曲线相切,可得: ;则曲线C的方程为, 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得
可得曲线C的极坐标方程.
(2)由(1)不妨设M(),,(),
,
,
由此可求面积的最大值.
试题解析:(1)由题意可知直线的直角坐标方程为,
曲线是圆心为,半径为的圆,直线与曲线相切,可得: ;可知曲线C的方程为,
所以曲线C的极坐标方程为,
即.
(2)由(1)不妨设M(),,(),
,
,
当 时, ,
所以△MON面积的最大值为.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数的定义域为;
(1)求实数的取值范围;
(2)设实数为的最大值,若实数, , 满足,求的最小值.
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【题目】一同学在电脑中打出若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前2012个圈中的●的个数是 ( )
A. B. C. D.
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