Question

11．判断函数y=$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$的单调性．

Answer 1

分析 可根据单调性的定义判断：先求出定义域为[1，3]，从而在定义域内任意设x₁＜x₂，然后作差，分子有理化，提取公因式x₁-x₂，从而得到${y}_{1}-{y}_{2}=\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）[4-（{x}_{1}+{x}_{2}）]}{\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}•\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}}$，从而可以判断x₁，x₂∈[1，2），和x₁，x₂∈（2，3]时的y₁，y₂的大小关系，从而判断出该函数的单调性．

解答 解：解4x-x²-3≥0得，1≤x≤3；
设x₁，x₂∈[1，3]，且x₁＜x₂，则：
${y}_{1}-{y}_{2}=\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}-\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}$=$\frac{4{x}_{1}-4{x}_{2}-（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）}{\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}•\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）[4-（{x}_{1}+{x}_{2}）]}{\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}•\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}}$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴①若x₁，x₂∈[1，2），则4-（x₁+x₂）＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[1，2]上单调递增；
②若x₁，x₂∈（2，3]，则4-（x₁+x₂）＜0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（2，3]上单调递减．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性的定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），带根号的情况一般需进行分子有理化，并且一般需提取公因式x₁-x₂．