Question

（本小题共12分）

在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是边长为的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点.
（1）求证：面A₁AO面BCC₁B₁;
（2）当AA₁与底面成45°角时，求二面角A₁—AC—B的大小；
（3）若D为侧棱AA₁上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁.

Answer 1

arctan2,

证明：（1）连AO, ∵⊿ABC为正三角形, ∴AO⊥BC.

又∵A₁O⊥面ABC，∴A₁O⊥BC，∴BC⊥面A₁AO
∴面A₁AO⊥面BCC₁B₁         ………4分
（2）过O作OE⊥AC于E，连A₁E，
∵A₁O⊥面ABC，
∴，∴∠A₁EO即为所求的平面角.
∵正⊿ABC的边长为,∠A₁AO=45°,
∴ ．

∴二面角A₁—AC—B的大小为arctan2 ．             …………8分
（3）过D作DF//A₁O交AO于F，则DF⊥面ABC，
连BF，要使BD⊥A₁C₁，只要使BF⊥AC，
∵⊿ABC为正三角形,
∴只要F为△ABC的中心即可，
∴时，BD⊥A₁C₁．            …………12分