Question

如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角θ取何值时，的值最大？并求出这个最大值.

Answer 1

思路分析：本题利用向量的概念和平面向量的运算法则.注意图形与坐标系的转化和与向量的联系.

解法一：∵⊥，∴.

∵，，，

∴

=

=

=

=+

=－a₂+a₂cosθ.

故当cosθ=1，即θ=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.

插入图片B84;Z3mm 

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如下图所示的平面直角坐标系.

设|AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)、B(c，0)、c(0，b)，

且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为(x，y)，

则Q(－x，－y).

∴=(x－c，y)，=(－x，－y－b)，=(－c，b)，=(－2x，－2y).

∴=(x－c)(－x)+y(－y－b)

=－(x²+y²)+cx－by.

∵cosθ=，

∴cx－by=a²cosθ.

∴=－a²+a²cosθ.

故当cosθ=1，即θ=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.