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【题目】设实数a∈R,函数 是R上的奇函数. (Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)当x∈(1,1)时,求满足不等式f(1m)+f(1m2)<0的实数m的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)因为函数 是R上的奇函数,所以f(0)=0.

,解得a=1.(3分)

(Ⅱ)由(Ⅰ),得

因为f(x)是R上的奇函数,由f(1m)+f(1m2)<0,

得f(1m)<f(1m2),即f(1m)<f(m21).

下面证明f(x)在R是增函数.

设x1,x2∈R且x1<x2,则

因为x1<x2,所以 ,而

所以

即f(x1)<f(x2),所以 是R上的增函数.

当x∈(1,1)时,由f(1m)<f(m21)得

解得

所以,当x∈(1,1)时,满足不等式f(1m)+f(1m2)<0的实数m的取值范围是


【解析】(Ⅰ)根据函数奇偶性的定义求出a的值即可,(Ⅱ)根据条件判断函数的单调性,利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可.
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点,需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题.

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