Question

已知动点P（x，y）到原点的距离的平方与它到直线l：x=m（m是常数）的距离相等．
（1）求动点P的轨迹方程C；
（2）就m的不同取值讨论方程C的图形．

Answer 1

分析：（1）设出动点坐标，直接利用条件写出方程，并化简．
（2）将轨迹方程变形化简，得到 （x+

1

2

）²+y²=

1

4

+m   或（x-

1

2

）²+y²=

1

4

-m，讨论4+m 与 4-m 的值的符号，分同为正数、一个正数一个是0时方程各表示的曲线类型．

解答：解：（1）因为原点为O（0，0），所以动点P（x，y）到原点的距离为|PO|=

x2+y2

，
于是动点P的坐标满足（

x2+y2

）²=|m-x|，
∴x²+y²=|m-x|，此即为动点P的轨迹方程．
（2）由x²+y²=|m-x|，两边平方，移项因式分解，
得  （x²+y²-m+x）（x²+y²+m-x）=0，
∴（x+

1

2

）²+y²=

1

4

+m   或（x-

1

2

）²+y²=

1

4

-m．

①当

1

4

+m＞0且

1

4

-m＞0，即-

1

4

＜m＜

1

4

时，点P的轨迹是两个圆．
一个圆的圆心是（-

1

2

，0），半径为

1 4 +m

；    另一个圆的圆心是（

1 4 -m

，0），半径为

1

4

．
②当m=

1

4

或m=-

1

4

时，点P的轨迹是一个圆和一个点．
③当m＜-

1

4

或m＞

1

4

时，点P的轨迹是一个圆．

点评：本题考查轨迹方程的求法，体现分类讨论的数学思想．