Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项的和S_n=

(an+1)2

4

（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设等比数列{b_n}的首项为b，公比为2，前n项的和为T_n．若对任意n∈N^*，S_n≤T_n均成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出a₁，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1可得a_n，a_n-1间的递推式，由此可判断{a_n}为等差数列，从而可得数列的通项公式；
（2）求出S_n，T_n，则S_n≤T_n对任意n∈N^*恒成立即

1

b

≤

2n-1

n2

对任意∈N^*均成立，令C_n=

2n-1

n2

，则问题等价于

1

b

小于等于C_n的最小值，通过作差C_n+1-C_n可判断{C_n}的单调性，由此即可求得其最小值；

解答：解：（1）a1=

(a1+1)2

4

，解得a₁=1，
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2-(an-1+1)2

4

，
得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，
又a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，
故{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以a_n=2n-1．（n∈N^*）．
（2）由（1）知，Sn=n2，T_n=b（2ⁿ-1），
所以S_n≤T_n对任意n∈N^*恒成立，当且仅当

1

b

≤

2n-1

n2

对任意∈N^*均成立，
令C_n=

2n-1

n2

，因为C_n+1-C_n=

2n+1-1

(n+1)2

-

2n-1

n2

=

(n2-2n-1)•2n+(2n+1)

n2(n+1)2

，
所以C₁＞C₂，且当n≥2时，C_n＜C_n+1，
因此

1

b

≤C2=

3

4

，即b≥

4

3

．

点评：本题考查数列递推式、等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，考查恒成立问题，恒成立问题的常用解决方法是转化为求最值．