Question

8．设f（x）是定义在[1，+∞）的函数，对任意正实数x，f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|，1≤x≤3，则使得f（x）=f（2015）的最小实数x为（　　）

• A． 172
• B． 415
• C． 557
• D． 89

Answer 1

分析 根据条件先求出f（2015）=172，然后根据条件求出分段函数在每一段上的最大值，然后只需找到相应的那个区间即可求出来．

解答 解：因为f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），
所以f（x）=3f（$\frac{x}{3}$），
所以f（2015）=3f（$\frac{2015}{3}$）=3²f（$\frac{2015}{{3}^{2}}$）=…=3ⁿf（$\frac{2015}{{3}^{n}}$），
当n=6时，$\frac{2015}{{3}^{6}}$∈（1，3），
所以f（2015）=3⁶[1-$\frac{2015}{{3}^{6}}$+2]=3⁷-2015=172，
同理f（x）=3ⁿf（$\frac{x}{{3}^{n}}$）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n}[1-（\frac{x}{{3}^{n}}-2）]，2≤\frac{x}{{3}^{n}}≤3}\\{{3}^{n}[1+（\frac{x}{{3}^{n}}-2）]，1≤\frac{x}{{3}^{n}}＜2}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n+1}-x，2≤\frac{x}{{3}^{n}}≤3}\\{x-{3}^{n}，1≤\frac{x}{{3}^{n}}＜2}\end{array}\right.$，（n∈N^*）
∵f（2）=1，∴f（6）=3f（2）=3，f（18）=3f（6）=3²=9，
f（54）=3f（18）=3³=27，f（162）=3f（54）=3⁴=81，
f（486）=3f（162）=3⁵=243，
即此时由f（x）=3⁵f（$\frac{x}{{3}^{5}}$）=3⁵（$\frac{x}{{3}^{5}}$-1）=x-3⁵=172
得x=3⁵+172=243+172=415，
即使得f（x）=f（2015）的最小实数x为415，
故选：B．

点评 本题应属于选择题中的压轴题，对学生的能力要求较高，解决问题的关键在于如何将f（2015）转化到[1，3]上求出它的函数值，二是如何利用方程思想构造方程，按要求求出x的值．