Question

【题目】已知函数．

(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

(3)设为正实数，且，求证： ．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出导数，由题意可得代入可得，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；（2）由函数在上为增函数，可得恒成立，既有，当时， ，求得右边函数的最小值，即可得到范围；（3）运用分析法证明，要证，只需证，即证，设，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证.

试题解析：（1）

由题意知，代入得，经检验，符合题意.

从而切线斜率 ，切点为，

切线方程为

（2） 因为上为单调增函数，所以上恒成立. 即在上恒成立，当时，由，得，设，所以当且仅当，即时， 有最小值， 所以的取值范围是

（3）要证，只需证，

即证只需证

设，由（2）知在上是单调函数，又，

所以，即成立，所以.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.