Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA₁上，点F在侧棱BB₁上，且AE=2，BF=．
（I） 求证：CF⊥C₁E；
（II） 求二面角E-CF-C₁的大小．

Answer 1

解：（I）由已知可得CC₁=，CE=C₁F=，
EF²=AB²+（AE-BF）²，EF=C₁E=，
于是有EF²+C₁E²=C₁F²，CE²+C₁E²=C₁C²，
所以EF⊥C₁E，C₁E⊥CE．又EF∩CE=E，
所以C₁E⊥平面CEF
由CF?平面CEF，故CF⊥C₁E；
（II）在△CEF中，由（I）可得EF=CF=，CE=，
于是有EF²+CF²=CE²，所以CF⊥EF，
又由（I）知CF⊥C₁E，且EF∩C₁E=E，所以CF⊥平面C₁EF
又C₁F?平面C₁EF，故CF⊥C₁F
于是∠EFC₁即为二面角E-CF-C₁的平面角
由（I）知△C₁EF是等腰直角三角形，所以∠EFC₁=45°，即所求二面角E-CF-C₁的大小为45°
分析：（I）欲证C₁E⊥平面CEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证C₁E与平面CEF内两相交直线垂直，根据勾股定理可知EF⊥C₁E，C₁E⊥CE，又EF∩CE=E，满足线面垂直的判定定理，最后根据线面垂直的性质可知CF⊥C₁E；
（II）根据勾股定理可知CF⊥EF，根据线面垂直的判定定理可知CF⊥平面C₁EF，而C₁F?平面C₁EF，则CF⊥C₁F，从而∠EFC₁即为二面角E-CF-C₁的平面角，在△C₁EF是等腰直角三角形，求出此角即可．
点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力．