Question

10．如图，三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AC⊥BC，且DF=EF=CF=2AC．
（Ⅰ）设平面AEC∩平面DEF=a，求证：DF∥a；
（Ⅱ）求异面直线AE与CF所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假设DF与a不平行，则DF与a有交点，设为P，由公理二得AC与DF相交，与已知AC∥DF矛盾，从而假设不成立，即DF∥a．
（Ⅱ）以F为原点，FE为x轴，FD为y轴，FC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CF所成的角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面AEC∩平面DEF=a，∴DE与α共面于平面DEF，
假设DF与a不平行，则DF与a有交点，设为P，
∵三棱台ABC-DEF中，DF∥AC，∴AC∩a=P，
由公理二得AC∩DF=P，与已知AC∥DF矛盾，
∴假设不成立，即DF∥a．
（Ⅱ）解：∵三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AC⊥BC，且DF=EF=CF=2AC，
∴以F为原点，FE为x轴，FD为y轴，FC为z轴，建立空间直角坐标系，
设DF=EF=CF=2AC=2，
则A（0，1，2），E（2，0，0），C（0，0，2），F（0，0，0），
∴$\overrightarrow{AE}$=（2，-1，-2），$\overrightarrow{CF}$=（0，0，-2），
设异面直线AE与CF所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{CF}|}$|=|$\frac{4}{\sqrt{9}×2}$|=$\frac{2}{3}$，
∴异面直线AE与CF所成的角的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查两直线平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法和向量法的合理运用．