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    （2012•湖南模拟）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
    （Ⅰ）请分析函数y=
    x
    150
    +2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
    （Ⅱ）若该公司采用函数模型y=
    10x-3a
    x+2
    作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
    分析：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%．即f（x）≤
    x
    5
    ．
    （Ⅱ）先将函数解析式进行化简，然后根据函数的单调性，以及使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤
    x
    5
    对x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相应的a的取值范围．
    解答：解：（Ⅰ）对于函数模型f（x）=
    x
    150
    +2
    当x∈[10，1000]时，f（x）为增函数  …（2分）
    f（x）max=f（1000）=
    1000
    150
    +2=
    20
    3
    +2＜9，所以f（x）≤9恒成立；…（4分）
    但当x=10时，f（10）=
    1
    15
    +2＞
    10
    5
    ，即f（x）≤
    x
    5
    不恒成立
    故函数模型y=
    x
    150
    +2不符合公司要求…（6分）
    （Ⅱ）对于函数模型g（x）=
    10x-3a
    x+2
    ，即g（x）=10-
    3a+20
    x+2

    当3a+20＞0，即a＞-
    20
    3
    时递增…（8分）
    为使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立，即要g（1000）≤9，3a+18≥1000，
    即a≥
    982
    3
    …（10分）
    为使g（x）≤
    x
    5
    对x∈[10，1000]恒成立，即要
    10x-3a
    x+2
    ≤
    x
    5
    ，即x2-48x+15a≥0恒成立，
    即（x-24）2+15a-576≥0（x∈[10，1000]）恒成立，又x=24∈[10.1000]，
    故只需15a-576≥0即可，
    所以a≥
    192
    5
    …（12分）
    综上所述，a≥
    982
    3
    ，所以满足条件的最小的正整数a的值为328…（13分）
    点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及函数的最值得应用，同时考查了函数的单调性和恒成立问题，以及转化的思想，属于中档题．
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    （2012•湖南模拟）已知函数f(x)=
    1
    2
    x2+x-(x+1)ln(x+1)
    （1）判断f（x）的单调性；
    （2）记φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函数φ（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：φ′(
    x1+x2
    2
    )＞0    ．

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    （2012•湖南模拟）已知向量
    m
    =(2cos2x，
    		3
    )，
    n
    =(1，sin2x)    ，函数f(x)=
    m
    •
    n
    ．
    （1）求函数f（x）的对称中心；
    （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)=3，c=1，ab=2
    		3
    ，且a＞b，求a，b的值．

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    （2012•湖南模拟）设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f(x)=
    1
    12
    x4-
    1
    6
    mx3-
    3
    2
    x2    ，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b-a的最大值为（　　）

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    （2012•湖南模拟）已知函数f(x)=
    -x-1(x＜-2)
    x+3(-2≤x≤
    1
    2
    )
    5x+1(x＞
    1
    2
    )
    （x∈R），
    （Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
    （Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m2+2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：函数y=（m2-1）x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

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    （2012•湖南模拟）设曲线y=xn+1（n∈N）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1•x2•x3•…•x2012的值为
    1
    2013
    1
    2013
    ．

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