Question

10．$已知\overrightarrow a=（sinθ，\frac{1}{3}），\overrightarrow b=（cosθ，-1），θ∈R$
（1）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求tanθ的值；      
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求sin2θ的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得sinθ×（-1）=cosθ×$\frac{1}{3}$，由同角三角函数的基本关系式计算可得答案；
（2）由向量垂直与数量积的关系可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinθcosθ-$\frac{1}{3}$=0，进而由二倍角的正弦公式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，$\overrightarrow{a}$=（sinθ，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，-1），
若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，则有sinθ×（-1）=cosθ×$\frac{1}{3}$，即sinθ=-$\frac{1}{3}$cosθ，
变形可得tanθ=-$\frac{1}{3}$；
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinθcosθ-$\frac{1}{3}$=0，
即sinθcosθ=$\frac{1}{3}$，
则sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，关键是掌握向量平行、垂直的坐标表示方法．