Question

设函数f(x)=

x2

2

-ax+

a2-1

2

，a∈R．
（Ⅰ）若?x∈[

2

，2]，关于x的不等式f(x)≥

a2-4

2

恒成立，试求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用参数分离法，转化为求最值问题即可解题
（2）讨论对称轴与区间中点的位置关系，根据根的分布情况，列出不等式组，解不等式组即可

解答：解：（1）依题得：?x∈[

2

，2]，不等式x²+3≥2ax恒成立，则a≤

x

2

+

3

2x

设g(x)=

x

2

+

3

2x

，则a≤g（x）_min即可
又g(x)=

x

2

+

3

2x

≥2

x 2 • 3 2x

=

3

，当且仅当x=

3

时，g(x)min=g(

3

)=

3

．
∴a的取值范围是(-∞，

3

]
（2）二次函数f（x）的图象开口向上，对称轴是直线x=a
依题意得：
①当a=2时，令f（x）=0，得x=1，x=3
∴在[

2

，2]上f（x）有两个零点，不合题意
②当a＜2时，要使函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，只需满足

f(0)＜0 f(4)≥0

即

a2-1＜0 a2-8a+15≥0

解得-1＜a＜1
当a=-1时满足题意，a=1时不满足题意，则-1≤a＜1
③当a＞2时，要使函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，只需满足

f(0)≥0 f(4)＜0

即

a2-1≥0 a2-8a+15＜0

解得3＜a＜5
当a=5时满足题意，a=3时不满足题意，则3＜a≤5
∴a的取值范围是[-1，1）∪（3，5]

点评：本题考查函数恒成立问题和函数的零点问题．恒成立问题常用参数分离法，零点问题常用数形结合思想，注意分类讨论．属中档题