【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明当时,关于
的不等式
恒成立;
(3)若正实数满足
,证明
.
【答案】(1) 的单调递减区间为
,函数
的单增区间为
;(2)(3)均见解析.
【解析】
试题分析:(1)求函数的导数,在函数的定义域内解不等式
即可求得函数的单调递增区间与单调递减区间;(2)令
,则
时,关于
的不等式
恒成立等价于
,在区间
上,
即可;(3) 由
,即
,令
,
,在区间
上,证
即可.
试题解析: (1) ,由
,得
.
又,所以
,所以
的单调递减区间为
,函数
的单增区间为
.
(2)令,所以
,因为
,所以
,令
,得
,所以当
,当
时,
因此函数
在
是增函数,在
是减函数,故函数
的最大值为
,令
,因为
,又因为
在
是减函数,所以当
时,
,即对于任意正数
总有
,所以关于
的不等式
恒成立.
(3)由,即
,从而
,令
,则由
得,
,可知
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以
,所以
,又
,因此
成立.
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【题目】某校高三文科名学生参加了
月份的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况,利用随机数表法从中抽取
名学生的成绩进行统计分析,抽出的
名学生的数学、语文成绩如下表.
(1)将学生编号为:, 若从第
行第
列的数开始右读,请你依次写出最先抽出的
个人的编号(下面是摘自随机用表的第四行至第七行)
(2)若数学优秀率为,求
的值;
(3)在语文成绩为良的学生中,已知,求数学成绩“优”比“良”的人数少的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了整顿食品的安全卫生,食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研,检测某种有害微量元素的含量,随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品,每个批次各随机地抽取了一件,下表是测量数据的茎叶图(单位:毫克).
规定:当食品中的有害微量元素的含量在时为一等品,在
为二等品,20以上为劣质品.
(1)用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据,再分别从这5个数据中各选取2个,求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率;
(2)每生产一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣质品亏损20元,根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率,分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率,若分别从甲、乙食品中各抽取1件,设这两件食品给该厂带来的盈利为,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】已知点,椭圆
:
的离心率为
,
是椭圆
的右焦点,直线
的斜率为
,
为坐标原点.
(1)求的方程;
(2)设过点的动直线
与
相交于
,
两点,当
的面积最大时,求
的直线方程.
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【题目】某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位:小时),统计结果绘成频率分别直方图(如图).已知甲、乙两班学生人数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人.
(I)求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间
的人数;
(II)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试,设4人中甲班学生的人数为,求
的分布列和数学期望.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,平行于
轴的两条直线
分别交
于
两点,交
的准线于
两点 .
(1)若在线段
上,
是
的中点,证明
;
(2)若的面积是
的面积的两倍,求
中点的轨迹方程.
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