Question

1．坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{5}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求曲线θ=$\frac{π}{4}$与圆C的交点的极坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cos²φ+sin²φ=1能先求出圆C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）曲线$θ=\frac{π}{4}$的直角坐标方程为y=x，x≥0，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，求出曲线θ=$\frac{π}{4}$与圆C的交点的直角坐标，由此能求出所求交点的极坐标．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{5}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），
∴圆C的普通方程是（x-1）²+y²=5，…（2分）
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圆C的极坐标方程是ρ²-2ρcosθ=4．…（5分）
（Ⅱ）∵曲线$θ=\frac{π}{4}$的直角坐标方程为y=x，x≥0，…（7分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴曲线θ=$\frac{π}{4}$与圆C的交点的直角坐标为（2，2），…（9分）
∴$ρ=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，$θ=\frac{π}{4}$，
∴曲线θ=$\frac{π}{4}$与圆C的交点的极坐标所以所求交点的极坐标为（2$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$）． …（10分）

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．