Question

5．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n²cosnπ，S_n为它的前n项和，则$\frac{{S}_{2010}}{2011}$=1005．

Answer 1

分析 通过a_n=n²cosnπ=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}，}&{n为奇数}\\{{n}^{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，并项相加并利用平方差公式计算可知S₂₀₁₀=$\frac{2010×2011}{2}$，进而可得结论．

解答 解：依题意，a_n=n²cosnπ=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}，}&{n为奇数}\\{{n}^{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
∴S₂₀₁₀=-1²+2²-3²+4²-…-2009²+2010²
=（-1²+2²）+（-3²+4²）+…+（-2009²+2010²）
=（1+2）+（3+4）+…+（2009+2010）
=$\frac{2010×2011}{2}$，
∴$\frac{{S}_{2010}}{2011}$=$\frac{2010×2011}{2×2011}$=1005，
故答案为：1005．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．