Question

求垂直于直线3x-4y-7=0，且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程．

Answer 1

分析：设出直线与x轴和y轴的截距并表示出所求直线的截距式方程，然后利用垂直得到斜率乘积为-1根据已知直线的斜率表示出该直线的斜率，即可得到关于a与b的一个关系式；同时再根据与两坐标轴构成的三角形周长为10表示出关于a和b的另一个关系式，两个关系式联立求出a和b，代入截距式方程即可得到．

解答：解：由所求直线能与坐标轴围成三角形，
则所求直线在坐标轴上的截距不为0，
故可设该直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则该直线方程为

x

a

+

y

b

=1，可得斜率为-

b

a

，
又该直线垂直于直线3x-4y-7=0，得到该直线的斜率为-

4

3

，则-

b

a

=-

4

3

即

b

a

=

4

3

；
且该直线与两坐标轴构成周长为10的三角形得到|a|+|b|+

a2+b2

=10，
联立

b a = 4 3 |a|+|b|+ a2+b2 =10

，
解得：

a= 5 2 b= 10 3

或

a=- 5 2 b=- 10 3

，所以所求直线方程为

x

5 2

+

y

10 3

=1或

x

- 5 2

+

y

- 10 3

=1，
化简得：4x+3y-10=0或4x+3y+10=0．

点评：此题为一道中档题，既考查了学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件又考查了学生会根据截距表示出直线的方程．同时要求学生会根据已知条件列出相应的关系式．是高考中经常考的类型题．