Question

例1：某建材厂要生产一批如图所示的窗框，它由矩形ABCD与以AB为直径的半圆组成，已知窗框的框架的总面积为1平方米，制造矩形ABCD的直线型钢材每米价格为4元，制造半圆的弧形钢材每米价格为6元，设AB=2r，制造每扇窗框的材料价格为S元，把S表示成r的函数，并求S的最小值．

Answer 1

分析：根据窗户面积为：一个个矩形的面积+半圆的面积，求出AD长，然后建立S关于r的函数，最后利用基本不等式求该函数的最小值即可．

解答：解：扇形的面积为

1

2

πr2，则矩形的面积为1-

1

2

πr2，
∴AD=

1- 1 2 πr2

2r

∴S=4×（2AB+2AD）+6×

1

2

πr
=8（2r+

1- 1 2 πr2

2r

）+3πr
=（16+π）r+

4

r

≥4

16+π

当且仅当r=

2

16+π

时取等号
故S的最小值为4

16+π

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．