Question

设函数的定义域为D，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为M上的高调函数. 
现给出下列命题：
① 函数为R上的1高调函数；
② 函数为R上的高调函数；
③ 如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数 的取值范围是；
④ 函数为上的2高调函数。
其中真命题的个数为

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

D

试题分析：首先理解“高调函数”的定义：函数的定义域为D，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为M上的高调函数.
据此研究四个函数：
对于①，即f（x）=()^x。f（x+l）=()^x+l，要使f（x+l）≥f（x），需要()^x+l≥()^x恒成立，只需l≤0；所以①函数为R上的1高调函数；不对；
对于②，f（x+1））=sin2（x+1）≥sin2x=f（x），当l=π时恒成立；所以函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，
所以②对;
对于③，f（x+m）=（x+m）²，f（x）=x²,令（x+m）²≥x²，即2mx+m²≥0在恒成立，
∴m>0且2m（-1）+m²≥0，解得m≥2，故③对;
对于④ 函数，若其为2高调函数，
则由≥，在恒成立，
得在恒成立，而此恒成立，所以④对
故正确的命题个数是3个，
故选D。
点评：新定义问题，具有较强的综合性。关键是阅读理解新定义内容，应用知识分析解决问题，利用数形结合的方法，应用图象解决问题，属中档题