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精英家教网已知点A(2,0),点M为曲线y=
x+2
上任意一点,点P为AM的中点;点P的轨迹为C;
(1)求动点P的轨迹C的方程F(x,y)=0;
(2)将轨迹C的方程变形为函数y=f(x);请写出此函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、最值等(不证明),并画出大致图象.
(3)若直线l:y=
x
10
+1
与轨迹C有两个不同的公共点B,K,且点G的坐标为(
1
8
,0)
,求|BG|+|KG|的值.
分析:(1)已知点P为AM的中点,设M(x1,y1),P(x,y),由中点坐标公式建立方程,用P点的坐标表示出M点的坐标,再代入书籍的解析式即可求出点P的轨迹为C;
(2)根据函数的解析式写出数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、最值等,图象如图;
(3)设B(x1,y1),k(x2,y2),将直线与轨迹C联立求得有y1+y2=5,y1y2=5,再由抛物线的性质得到|BG|+|KG|=x1+x2+
1
8
1
8
=2y1 2+2y2 2+
1
4
=(y1+y22-4y1y2+
1
4
即可求得|BG|+|KG|的值.
解答:精英家教网解:(1)已知点P为AM的中点,设M(x1,y1),P(x,y)
x=
x1+2
2
y=
y1
2
x1=2x-2
y1=2y

∵点M为曲线y=
x+2
上任意一点

y1=
x1+2?
2y=
2x-2y+2
,即y=
2
2
x

故轨迹C的方程是y=
2
2
x

(2)y=f(x)=
2
2
x
,此函数的性质如下,图象如图;
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(3)由直线l与轨迹C相交于B(x1,y1),k(x2,y2),得
y=
2
2
x
y=
x
10
+1
,消元得y2-5y+5=0,故有y1+y2=5,y1y2=5
轨迹C是抛物线y2=
x
2
(y≥0)的一部分,此抛物线的焦点坐标为(
1
8
,0),准线方程为x=-
1
8

所以|BG|+|KG|=x1+x2+
1
8
1
8
=2y1 2+2y2 2+
1
4
=(y1+y22-4y1y2+
1
4
=30
1
4
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,解题的关键是根据题设条件灵活选用方法,求得轨迹C的方程,再由其方程对应的曲线的类型选择求值的方法.
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x2
16
+
y2
12
=1
上,则|PA|+|PB|=
 

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2
,0),B(
2
,0
),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-
1
2

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PA
PB
=0
,那么实数 m 等于(  )

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3
)
,C(2cosθ,sinθ),其中θ∈[0,
π
2
]

(1)若
AB
OC
,求tanθ的值;
(2)设点D(1,0),求
AC
 •  
BD
的最大值;
(3)设点E(a,0),a∈R,将
OC
 •  
CE
表示成θ的函数,记其最小值为f(a),求f(a)的表达式,并求f(a)的最大值.

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2-
2
2-
2

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