如图所示.在几何体ABCDE中.△ABC是等腰直角三角形.∠ACB=90°.四边形ACED是直角梯形.∠DAC=90°.AD∥CE.AD=AC=2CE=2.BC⊥CE.点F是AB的中点．(1)求证:CF∥平面BDE,(2)若$\overrightarrow{BG}$=λ$\overrightarrow{BD}$.AG和平面BDE所成的角的余弦值是$\frac{1}{3}$.试确定点G的位置� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，四边形ACED是直角梯形，∠DAC=90°，AD∥CE，AD=AC=2CE=2，BC⊥CE，点F是AB的中点．
（1）求证：CF∥平面BDE；
（2）若$\overrightarrow{BG}$=λ$\overrightarrow{BD}$，AG和平面BDE所成的角的余弦值是$\frac{1}{3}$，试确定点G的位置．

分析（1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面BDE．
（2）由AG和平面BDE所成的角的余弦值是$\frac{1}{3}$，利用向量法能确定点G的位置．

解答证明：（1）∵在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
四边形ACED是直角梯形，∠DAC=90°，AD∥CE，AD=AC=2CE=2，BC⊥CE，点F是AB的中点，
∴AC⊥BC，又AC∩CE=C，∴BC⊥平面ACED，
∴AC、BC、CE两两垂直，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），F（1，1，0），E（0，0，1），D（2，0，2），
$\overrightarrow{CF}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EB}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{ED}$=（2，0，1），
设平面EBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=2y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=2x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n}$=1-1+0=0，
∵CF?平面BDE，∴CF∥平面BDE．
解：（2）设G（a，b，c），∵$\overrightarrow{BG}$=λ$\overrightarrow{BD}$，∴（a，b-2，c）=（2λ，-2λ，2λ），
∴G（2λ，2-2λ，2λ），$\overrightarrow{AG}$=（2λ-2，2-2λ，2λ），
∵AG和平面BDE所成的角的余弦值是$\frac{1}{3}$，
∴$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AG}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2λ-2+2λ-2-4λ|}{\sqrt{（2λ-2）^{2}+（2-2λ）^{2}+4{λ}^{2}}•\sqrt{6}}$，
解得$λ=1-\frac{\sqrt{6}}{8}$或$λ=1+\frac{\sqrt{6}}{8}$．
∴$\overrightarrow{BG}$=（1-$\frac{\sqrt{6}}{8}$）$\overrightarrow{BD}$，或$\overrightarrow{BG}$=（1+$\frac{\sqrt{6}}{8}$）$\overrightarrow{BD}$．

点评本题考查线面平行的证明，考查使得线面角的余弦值为$\frac{1}{3}$的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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