Question

8．（1）集合A={x|ax²-2x+1=0}只有-个元素，求实数a的值及A；
（2）集合A={x|ax²-2x-1≥0}=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论当a=0和a≠0时对应的条件．（2）问题转化为ax²-2x+1＜0在R上恒成立．

解答 解：（1）若A中恰好只有一个元素，
则方程ax²-2x+1=0只有一个解，
当a=0时，方程ax²-2x+1=0等价为-2x+1=0，
即x=$\frac{1}{2}$，满足条件，
当a≠0，判别式△=4-4a=0，解得a=1，
所以a=0或a=1，A={0，1}；
（2）集合A={x|ax²-2x-1≥0}=∅，
则ax²-2x-1＜0在R上恒成立，
当a=0时，ax²-2x-1＜0等价为-2x-1＜0，不满足条件，
当a≠0，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=4+4a＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-1．

点评 本题主要考查元素和集合之间关系的应用，利用一元二次方程根与判别式之间的关系是解决本题的关键．