Question

求复杂区域的体积往往需要经历将其分割后求其各部分的体积，最后再求和的过程．试运用此思想考虑如下问题：在一个棱长为6 cm的正方体盒子中，放一个半径为1 cm的小球，任意摇动盒子，问：

(1)盒子内的哪些空间小球不能到达？

(2)你能求出小球不能到达的空间的体积吗？

Answer 1

答案：
解析：

显然小球不能到达的空间位于正方体的顶点和棱处的“边角”地区． 　　不妨分析一个顶点处的情形，小球无论怎样靠近角落，总有一部分空间不能到达，如图1所示为切下小球的的情形，其不能到达的空间体积可以通过立方体体积减小球可以到达部分体积得到，即为V1＝1－． 　　另一个不能到达的空间是小球与盒子相邻的两个面之间形成的(其竖直的一条棱处的俯视图如图2)，在一条棱处(除去两端的两个角落)不能到达的空间可以看成底面是一个正方形去掉一个四分之一圆的柱体(图的阴影部分)，它的高为4 cm，其体积为V2＝(4－π)cm3． 　　所以小球不能到达的空间的体积为8V1＋12V2＝．

提示：

在计算体积时，有时需要把一种几何体拼补成另一种几何体；有时需要把较复杂的几何体(或组合体)分割成几个简单的几何体，从而求出它们的体积，这种常用的求几何体表面积或体积的方法，应熟练掌握．