精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2010•济南一模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆焦点坐标;
(2)若点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,记直线PM,PN的斜率分别为kPM,kPN,当kPMkPN=-
1
4
时,求椭圆的方程.
分析:(1)由b=
2
1+1
得b=
2
,再结合椭圆的长轴的长为4,进而根据椭圆中a,b,c的关系得到焦点的坐标.
(2)由题意可设M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y),所以有
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1,
x2
a2
+
y2
b2
=1
,两式相减得:
y2-
y
2
0
x2-
x
2
0
=-
b2
a2
,再结合两条直线的斜率与题中条件可得答案.
解答:解:(1)由b=
2
1+1
得b=
2
…(2分)
又因为2a=4,
所以a=2,又a2=4,b2=2…(4分)
所以c2=a2-b2=2,
两个焦点坐标为(
2
,0),(-
2
,0)
…(6分)
(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N交于坐标原点对称
不妨设:M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y)
因为M,N,P在椭圆上,
所以它们满足椭圆方程,即有
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1,
x2
a2
+
y2
b2
=1

两式相减得:
y2-
y
2
0
x2-
x
2
0
=-
b2
a2
.…(8分)
由题意它们的斜率存在,则kPM=
y-y0
x-x0
kPN=
y+y0
x+x0
…(10分)
kPMkPN=
y-y0
x-x0
y+y0
x+x0
=
y2-
y
2
0
x2-
x
2
0
=-
b2
a2
则-
b2
a2
=-
1
4
,由a=2得b=1

故所求椭圆的方程为
x2
4
+y2=1
…(12分)
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程,涉及了椭圆与直线的位置关系,以及直线的斜率等问题,综合性强.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•济南一模)一次选拔运动员,测得7名选手的身高(单位cm)分布茎叶图如图,记录的平均身高为177cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x,那么x的值为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•济南一模)设a、b、c表示三条直线,α、β表示两个平面,则下列命题中不正确的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•济南一模)已知全集U=R,则正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•济南一模)已知函数f(x)=sin(ωx+?),其中ω>0,|φ|<
π
2
|,若a=(1,1),b=(cos?,-sinφ)
,且
a
b
,又知函数
f(x)的周期为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图象向右平移
π
6
个单位得到g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.

查看答案和解析>>

同步练习册答案