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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵,向量
(I)求矩阵M的特征值λ1、λ2和特征向量
(II)求M6的值.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为.以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
(Ⅰ)求直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
(3)选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ)已知:a、b、c∈R+,求证:a2+b2+c2;    
(Ⅱ)某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3,求其对角线长的最小值.
【答案】分析:(1)(I)先根据特征值的定义列出特征多项式,令f(λ)=0解方程可得特征值,再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.
(II)由,得m,n,再利用m,n的值结合幂的计算公式求出答案;
(2)(I)首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入x=ρcosθ,y=ρsinθ和化简为平面直角坐标系中的直线方程,
(II)利用三角函数的基本关系及 条件中圆的参数方程化简得到圆的一般式方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,然后即可求出曲线上P到直线l的距离的最大值即可.
(3)(I)根据柯西不等式直接证明即可;
(II)不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c,故有a+b+c=3,再利用(I)中的结论即可求出对角线长长的最小值.
解答:(1)解:(I)的特征多项式为
令f(λ)=0,得λ1=2,λ2=31,λ1=2,λ2=3…(2分)
当λ1=2,λ2=31时,得;当λ2=3时,得…(4分)
(II)由,得m=3,n=1…(5分)
…(7分)
(2)解:(Ⅰ)化简为ρcosθ+ρsinθ=4,
∴直线l的直角坐标方程为x+y=4;   …(3分)
(Ⅱ)设点P的坐标为(2cosα,sinα),
得P到直线l的距离,…(5分)
,其中
当sin(α+φ)=-1时,.  …(7分)
(3)解:(Ⅰ)a,b,c∈R+,根据柯西不等式有:(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a•1+b•1+c•1)2
,当且a=b=c时等式成立.…(4分)
(Ⅱ)不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c,
故有a+b+c=3,其对角线长
当且仅当a=b=c=1时对角线长取得最小值.…(7分)
点评:本题主要考查来了逆矩阵与投影变换,以及圆的参数方程和直线的参数方程,以及不等式的证明等基础知识,是一道综合题,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,请考生任选2题作答.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知a,b∈R,若M=
-1a
b3
所对应的变换TM把直线L:2x-y=3变换为自身,求实数a,b,并求M的逆矩阵.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程:
x=t
y=1+2t
(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)

①将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
②判断直线l和圆C的位置关系.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(1)、(2)、(3)三个选择题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(1).选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
1a
-1b
,A的一个特征值λ=2,其对应的特征向量是α1=
2
1

(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)若向量β=
7
4
,计算A2β的值.

(2).选修4-4:坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
,点F1,F2为其左、右焦点,直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
(t为参数,t∈R).求点F1,F2到直线l的距离之和.
(3).选修4-5:不等式选讲
已知x,y,z均为正数.求证:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
12
34

①求矩阵A的逆矩阵B;
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x,求直线l的方程.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(a为参数),点Q极坐标为(2,
7
4
π).
(Ⅰ)化圆C的参数方程为极坐标方程;
(Ⅱ)若点P是圆C上的任意一点,求P、Q两点距离的最小值.
(3)选修4-5:不等式选讲
(I)关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解不是空集,求a的取值范围.
(II)设x,y,z∈R,且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1
,求x+y+z的取值范围.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(Ⅰ)选修4-2:矩阵与变换,
已知矩阵A=
01
a0
,矩阵B=
02
b0
,直线l1
:x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2,直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3:x+y+4=0,求直线l2的方程.
(Ⅱ)选修4-4:坐标系与参数方程,
求直线
x=-2+2t
y=-2t
被曲线
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦长.
(Ⅲ)选修4-5:不等式选讲,解不等式|x+1|+|2x-4|>6.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分
(1)已知矩阵M=
12
21
,β=
1
7
,(Ⅰ)求M-1;(Ⅱ)求矩阵M的特征值和对应的特征向量;(Ⅲ)计算M100β.
(2)曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标是(2,0),求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长.
(3)已知a>0,求证:
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2

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