Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，点B₁在底面上射影D落在BC上．
（I）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（II）若AB₁⊥BC₁，且∠B₁BC=60°，求证A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（I）先根据线面垂直的性质定理得到B₁D⊥AC，再由BC⊥AC结合线面垂直的判定定理可证明AC⊥平面BB₁C₁C，得证．
（II）先根据线面垂直的判定定理得到BC₁⊥平面AB₁C，从而得到BC₁⊥B₁C，进而可得到四边形BB₁C₁C为菱形，再由中位线定理得到，DE∥A₁C，最后再由线面平行的判定定理得到A₁C∥平面AB₁D．

解答：解：（I）∵B₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴B₁D⊥AC
又∵BC⊥AC，B₁D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB₁C₁C

（II）连接A₁B和AB₁，交于点E，

AB1⊥BC1 AC⊥BC1 AB1与AC相交

?

BC1⊥平面AB1C B1C?平面AB1C

?BC1⊥B1C
∴四边形BB₁C₁C为菱形，
∵∠B₁BC=60°，B₁D⊥BC于D，
∴D为BC的中点，
在三角形A₁BC中，DE∥A₁C
∴A₁C∥平面AB₁D．

点评：本题主要考查线面垂直的性质定理、判定定理和线面平行的判定定理．考查对立体几何的基本定理的应用．