【题目】已知函数,.
(1)若函数的图像与轴无交点,求的取值范围;
(2)若方程在区间上存在实根,求的取值范围;
(3)设函数,,当时若对任意的,总存在,使得,求的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)或.
【解析】
(1)函数与轴无交点,即方程没有实数根,即可求得的取值范围;(2)函数的对称轴是,所以函数在上单调递减,则需满足;(3)根据题意可知,函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集,对于函数,可分讨论函数的值域,利用子集关系列不等式求的范围.
(1)若函数的图象与轴无关点,则方程的根的判别式,即,解得.
故的取值范围为.
(2)因为函数的图象的对称轴是直线,
所以在上是减函数.
又在上存在零点,所以,即,解得.
故的取值范围为.
(3)若对任意的,总存在,使得,则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.
当时,函数图象的对称轴是直线,所以在上的函数值的取值集合为.
①当时,,不符合题意,舍去.
②当时,在上的值域为,只需,解得.
③当时,在上的值域为,只需,解得.
综上,的取值范围为或.
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【题目】已知点为抛物线的焦点,为抛物线上三点,且点在第一象限,直线经过点与抛物线在点处的切线平行,点为的中点.
(1)证明:与轴平行;
(2)求面积的最小值.
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【题目】对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查,随机抽查了人,他们月收入(单位:百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表:
月收入(百元) | ||||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(1))根据以上统计数据填写下面列联表,并回答是否有的把握认为月收入以百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异?
月收入低于55百元人数 | 月收入不低于55百元人数 | 总计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
总计 |
(2)若从月收入在的被调查对象中随机选取人进行调查,求至少有一人赞成“楼市限购政策”的概率.
(参考公式:,其中)
参考值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为4 800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元.设池底长方形长为x米.
(1)求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
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【题目】(本小题满分12分)
围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)。
(Ⅰ)将y表示为x的函数;
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
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【题目】某省数学学业水平考试成绩共分为、、、四个等级,在学业水平考试成绩分布后,从该省某地区考生中随机抽取名考生,统计他们的数学成绩,部分数据如下:
等级 | ||||
频数 | ||||
频率 |
(1)补充完成上述表格的数据;
(2)现按上述四个等级,用分层抽样方法从这名考生中抽取名.在这名考生中,从成绩为等和等的所有考生中随机抽取名,求至少有名成绩为等的概率.
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【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
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【题目】已知,.
(1)如果函数的单调递减区间为,求函数的解析式;
(2)在(1)的条件下,求函数的图象在点处的切线方程;
(3)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.
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