Question

17．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右顶点为A，上、下顶点分别为 B₂、B₁，左、右焦点分别是F₁、F₂，若直线 B₁F₂与直线 AB₂交于点 P，且∠B₁PA为锐角，则离心率的范围是$0＜e＜\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，∠B₁PA就是$\overrightarrow{{B}_{2}A}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=（a，-b）、$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），由向量的夹角为锐角可得-ac+b²＞0，把b²=a²-c²代入不等式，从而可求椭圆离心率的取值范围．

解答 解：由题意，∠B₁PA就是$\overrightarrow{{B}_{2}A}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的夹角，
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
则$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=（a，-b）、$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），
由向量的夹角为锐角，知道$\overrightarrow{{B}_{2}A}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的数量积大于0，
所以有：-ac+b²＞0，
把b²=a²-c²代入不等式得：a²-ac-c²＞0，
除以a²得1-e-e²＞0，
即e²+e-1＜0，解得$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又0＜e＜1，所以0＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：0＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是利用$\overrightarrow{{B}_{2}A}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的数量积大于0，建立不等式，属于中档题．