Question

已知函数f(x)=

3-x-a(x≤0) f(x-1)(x＞0)

若关于x的方程f（x）=x有且仅有二个不等实根，则实数a的取值范围是（　　）

A．[1，2]

B．（-∞，2）

C．[2，3）

D．（-3，-2]

Answer 1

分析：在同一坐标系里作出函数y=f（x）的图象与y=x的图象，根据a值观察两图象交点的个数，可得当a＜2时两图象有三个交点，相应地方程应有三个不等实根，当a≥3两图象只有一个交点，相应地方程只有一个实根．因此只有当a∈[2，3）时，两图象有且仅有二个交点，相应地方程且仅有二个实根等实数根．

解答：解：根据题意，作出函数的图象，发现
当x≤0时，函数的图象是由y=3^-x的图象向上或向下平移而得；
而x＞0的图象是由左边-1＜x≤0部分右移一个单位而来，得到0＜x≤1的部分；
0＜x≤1部分右移一个单位，得到1＜x≤2的部分；
依此类推，得到y轴右边的各段图象如图．
当a=2时，方程y=f（x）与y=x图象恰好有且仅有二个交点，但是在此情况下将函数图象向上平移一点，两图象就有三个不同的交点
向下平移时，有两个交点，但平移超过1个单位时，a≥3，又变成了一个交点
因此，两个图象有且仅有2交点的a的取值范围是[2，3），此时方程f（x）=x有且仅有二个不等实根
故选C

点评：本题考查了方程的根的个数、函数零点判断等等知识点，属于中档题．采用数形结合是此种问题的常用解法．