Question

如图所示，已知圆的方程是(x－1)²＋y²＝1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，以A，B为焦点的椭圆C过P，Q两点．

(1)若直线QP与椭圆C的右准线相交于点M，求点M的轨迹方程；

(2)当梯形PABQ周长最大时，求椭圆C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解法一：设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)． 　　因为2c＝2，所以c＝1，所以右准线方程为x＝a2＋1，设M(x，y)，P(x0，y0)，连接PB，则|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，所以(|PA|＋|PB|)2－2|PA|·|PB|＝4．所以(2a)2－2·2|y0|＝4． 　　y0＝±(a2－1)．由消去a，得y＝±(x－2)．因为0＜|y0|＜1，所以0＜a2－1＜1，1＜a2＜2．所以2＜x＜3．即M点的轨迹方程是y＝±(x－2)(2＜x＜3)． 　　解法二：如解法一， 　　由解得＝b2(a2－1)．因为b2＝a2－c2＝a2－1，所以＝(a2－1)．即y0＝±(a2－1)．以下同解法一． 　　(2)解法一：设∠ABO＝α，α∈(，)，则|AB|＝2，|PA|＝|BQ|＝2cosα， 　　|PQ|＝|AB|－2|BQ|cosα＝2－4cos2α．所以周长L＝(2－4cos2α)＋4cosα＋2． 　　＝－4(cosα－)2＋5．当cosα＝，即α＝时，周长L取最大值5．此时|BQ|＝1，|AQ|＝，2a＝|BQ|＋|AQ|，a2＝()2＝，b2＝a2－1＝，所以所求椭圆C的方程为＋＝1． 　　解法二：设P(x0，y0)，|PA|＝t，因为|PA|2＝(||AB|－x0|)|AB|，所以t2＝2(2－x0)．x0＝2－．因为1＜x0＜2，所以0＜t＜．梯形周长L＝|PQ|＋2|PA|＋|AB| 　　＝2(x0－1)＋2t＋2 　　＝2(1－)＋2t＋2 　　＝－t2＋2t＋4 　　＝－(t－1)2＋5． 　　当t＝1时，L取最大值5，此时|PB|＝，以下同解法一．