Question

19．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a$=（1，-2）．
（1）若$|\overrightarrow c|=2\sqrt{5}$，且$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，求向量$\overrightarrow c$的坐标；
（2）若$|\overrightarrow b|=1$，且$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-2\overrightarrow b$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow c=（x，y）$，则由条件可得$\left\{\begin{array}{l}{1•y+2•x=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=20}\end{array}\right.$，求得x、y的值，可得向量$\overrightarrow c$的坐标．
（2）由条件利用两个向量垂直的性质求得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3$，可得cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$ 的值．

解答 解：（1）设$\overrightarrow c=（x，y）$，由$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$和$|\overrightarrow{c|}=2\sqrt{5}$可得：$\left\{\begin{array}{l}{1•y+2•x=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=20}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow c=（-2，4）$，或$\overrightarrow c=（2，-4）$．
（2）∵$|\overrightarrow b|=1$，$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，∴$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）=0$，
即${\overrightarrow a^2}-\overrightarrow a•\overrightarrow b-2{\overrightarrow b^2}=0$，∴$|\overrightarrow a{|^2}-\overrightarrow a•\overrightarrow b-2|\overrightarrow b{|^2}=0$，
∴$5-\overrightarrow a•\overrightarrow b-2=0$，所以$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3$，∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|}=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，用数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．