Question

f（x）=ln（x+1）-x+x²
（1）当k=2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当k＞0时，方程f（x）=0 在区间[0，1]有2个不同的根，求k范围．

Answer 1

解：（1）当k=2时，f（x）=ln（1+x）-x+x²，
∴求导数，得f'（x）=-1+2x，可得f’（1）=且f（1）=ln2，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-ln2=（x-1），化简得3x-2y+2ln2-3=0；
（2）f'（x）=，x∈（-1，+∞）
①当k=0时，f′（x）=-
因此，在区间（-1，0）上f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上f'（x）＜0；
∴f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
②当k＜0时，因为==k+＜0
∴若x＞0，则f'（x）=＜0；若-1＜x＜0，则＞0
因此，函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
③当0＜k＜1时，f′（x）==0，得x₁=0，x₂=＞0；
因此，在区间（-1，0）和（，+∞）上，f'（x）＞0；在区间（0， ）上，f'（x）＜0；
∴函数f（x）的单调递增区间为（-1，0）和（，+∞），单调递减区间为（0，）；
④当k=1时，f′（x）=≥0恒成立，故f（x）的递增区间为（-1，+∞）；
⑤当k＞1时，由f′（x）==0，得x₁=0，x₂=∈（-1，0）；
因此，在区间（-1，）和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间（，0）上，f'（x）＜0；
∴函数f（x）的单调递增区间为（-1，）和（0，+∞），单调递减区间为（，0）．
（3）∵当k＞0时，方程f（x）=0 在区间[0，1]有2个不同的根
∴函数f（x）在区间[0，1]的单调性是先增后减，或先减后增
再根据（2）中的单调性，可得0＜k＜1，且函数f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数
∴根据函数零点存在性定理，得，解之可得2-2ln2≤k＜1
即方程f（x）=0 在区间[0，1]有2个不同的根时，实数k的取值范围为[2-2ln2，1）．
分析：（1）根据导数的几何意义，求出函数f（x）在x=1处的导数值，从而得到切线的斜率，再求出切点坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简成一般式即可得到f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求出导函数f'（x），分k=0、k＜0、0＜k＜1、k=1、k＞1几种情形，分别在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可得到各种情况下函数的单调区间．
（3）根据（2）的单调性结论，结合函数零点存在性定理可得0＜k＜1，并由此建立关于k的不等式组，解之即可得到符合题意的实数k的取值范围．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等知识，属于中档题．本题是一道综合题，还考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想等常用的数学知识，是一道不错的高考题．