Question

已知函数f(x)=

2|x+m-1|

x-4

，m＞0，满足f（2）=-2，
（1）求实数m的值；
（2）判断y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的方程f（x）=kx有三个不同实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（2）=-2即m＞0即可求出；
（2）利用（1）先求出其解析式及单调区间，再利用定义证明即可；
（3）通过对x分别就x＞0、x=0、x＜0三种情况的解的情况讨论即可．

解答：解：（1）由f（2）=-2，m＞0⇒

2|1+m|

-2

=-2，m＞0，解得m=1．
（2）由（1）可知：m=1，∴f(x)=

2|x|

x-4

．
因此只研究函数f（x）=

2|x|

x-4

=

2x

4-x

在区间（-∞，0]上的单调性即可．
此函数在区间（-∞，0]上单调递增．
证明：设x₁＜x₂≤0，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4-x1

-

2x2

4-x2

=

8(x1-x2)

(4-x1)(4-x2)

，
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，4-x₁＞0，4-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（-∞，0]上单调递增．
（3）原方程即为

2|x|

x-4

=kx（*）
①当x=0时，方程成立，即x=0是方程（*）的一个实数根；
②当x＜0时，方程（*）?

-2

x-4

=k，x＜0?x=4-

2

k

＜0?0＜k＜

1

2

，
即当0＜k＜

1

2

时，方程（*）在区间（-∞，0）有唯一一个实数根，此外无解；
③当x＞0且x≠4时，方程（*）?

2

x-4

=k，x＞0且x≠4?x=4+

2

k

＞0，解得k＜-

1

2

或k＞0．
∴k∈(-∞，-

1

2

)∪(0，+∞)时，方程（*）在区间（0，+∞）有一个实数根，此外无解．
综上可知：要使原方程有三个不同实数根，当且仅当k满足原方程在（-∞，0）和（0，+∞）
各有一个实数解时才成立，此时，k∈(0，

1

2

)．
∴实数k的取值范围为(0，

1

2

)．

点评：熟练掌握函数的单调性和分类讨论的思想方法是解题的关键．